第三章 算术运算

第二节 分数与小数

刘徽说：“物之数量，不可悉全，必以分言之。”先秦典籍和《周髀》中已大量使用分数，而分数的完整理论则出现在《九章》方田章。首先是约分法则：分子、分母能同时被2整除，则先被2除。不能被2整除，则在旁边使分子、分母以少减多(即从多中减去少)，辗转相减，求其最大公约数(称为等数)，以此约之。这种方法与欧几里得求最大公约数的方法一致。如方田章第6题化简分数49/91：

7便是最大公约数，以7约分子、分母：49/91=7/13。

分数加法称为合分，减法称为减分，其法则是：分子互乘分母，相加(减)作为实，分母相乘作为法，实如法而一。即a/b±c/d=ad/bd±cb/db=(ad±bc)/db。这里用到通分，但未用最小公倍数作分母。

分数乘法称为乘分，法则是：分母相乘为分母，分子相乘为分子。即a/b×c/d=ac/bd，与今无异。分数除法叫经分。《九章》将实与法通分，使分子相除：a/b÷c/d=ad/bd÷cb/db=ad/bc。刘徽提出了颠倒相乘法：a/b÷c/d=a/b×d/c=ad/bc，与今相同。

这是世界上最早的分数运算法则。分数算法大约在15世纪才在欧洲流行，认为这种算法源于印度。实际上印度7世纪婆罗门笈多才有分数运算法则，且都与中国相同。中国古算经中有若干分数应用题。如《孙子算经》、《张丘建算经》都有“河上荡杯”问：一妇女在河边洗杯盘，有人问她杯盘为什么这么多？她答道：家中有客人，不知其数。只知道2人合用一个菜盘，3人合用一个汤杯，4人合用一个饭碗，共用杯盘65个。问客人是多少？其算法是：65÷(½+1/3+¼)=65÷(13/12)=60(人)。

在数学史上，小数的产生比分数晚得多。刘徽在开方不尽时用十进分数(微数)逼近无理根的近似值，开十进小数之先河。古代用分、厘、毫、丝、秒、忽表示分以下的奇零部分。赝本《夏侯阳算经》常常以某个整单位表示，不再列出微数单位，如将绢1525匹3丈7尺5寸化为1525匹9375(1匹=4丈)，实际上是一个十进小数。秦九韶、李冶都将1863.2寸表示成18632，与今之记法基本相同。杨辉、朱世杰先后总结了民间化斤两为十进小数的歌诀。中国是世界上最先使用小数的国家。中亚的阿尔·卡西13世纪才掌握十进分数。西方斯台汶1585年才有十进小数概念，记法远不如唐宋时的中国，如上述小数记成⓪①②③④或1525⓪9①3②7③5④15259375。