第五章 勾股测望

第四节 旁要

旁要是先秦“九数”之一，西汉张苍、耿寿昌补充了解勾股形等内容后改称勾股，成为《九章》勾股章。根据贾宪、杨辉的提示，上述勾股容方、容圆及八个测望问题是旁要的内容。现在介绍这类测望问题。有一正方形城邑，不知大小，城门都在城墙正中。出北门20步有一株树。出南门14步拐向正西1775步，恰能看到此树。问城邑每边长多少？设城邑边长x，出北门a，出南门k，折西b，如图21(1)，考虑两个相似勾股形，小勾股形股b=½x，大勾股形勾a=a+x+k。由于a/b=a/b，或a/½x=(a+x+k)/b，故x+(a+k)x=2ab。这是刘徽推导此公式的第一种方法。第二种方法是：如图21(2)，宽为DF=x，长为BC=x+a+k的长方形DEGF，其面积x(x+a+k)，再考虑宽BC=x+a+k，长为AC=b的长方形BCAI，它被对角线平分，由于勾股形AAJ与AAG相等，故BCJI与BCGF面积相等。DEGF的面积是BCGF的两倍，即BCJI的两倍，BCJI的面积为ab，故x(x+a+k)=2ab。

第二种方法的关键是长方形BCJI与BCGF面积相等，它们有公共部分BCAF，则长方形FAJI与CCGA面积相等。这是一个重要原理，后来贾宪、杨辉将其概括为：将一长方形斜解为二勾股形，两勾股形所容的以公共弦上任一点为公共点的两长方形的面积相等，见图22。这一原理在测望问题的出入相补中作用特别大。《九章》立四表望远、因木望山及测井径问题，都可以这样解决。如因木望山问是：有一树高9丈5尺，距山53里，人目高7尺。距树3里处望山，人目、树顶、山顶成一直线。问山高多少？如图23。由上述原理，阴影部分相等，故ab=ab，故a=ab/b。