第六章 线性方程组解法

第三节 正负术

方程术会导致负数的产生。这里有两个途径，一是直除法消元过程中常出现小数减大数的情形，如方程章第3问；二是方程本身常出现负系数，如第4问，依题意列出5x-11=7y，移项便得5x-7y=11。因此《九章》引入了负数概念和正负术。刘徽说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”(《九章算术·方程章注》)这是关于正负数的明确定义。《九章》给出：

正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

这是著名的正负数加减法则。同名、异名是现今之同号、异号。前四句讲减法，其意义是：若二数同号，则其差的绝对值是其绝对值之差：(±a)-(±b)=±(a-b)，a≥b>0；(±a)-(±b)=∓(b-a)，00。

正负术最初只用于方程术，宋元之后才用于其他数学分支。以《九章》方程章第8问为例，列出方程为。以右行上系数2乘中行，三度减右行；以右行上系数2乘左行，五度加右行，得，以3约中行，得，以下的变换结果依次是：→→。在这里多次应用了正负数加减法则。同时我们看到，尽管《九章》没有明确提出正负数乘除法法则，但实际上却实施了正负数乘除法运算。朱世杰在《算学启蒙》中首次提出了正负数乘法法则。