第七章 高次方程数值解法

中国古代，求√A，及ax+ax+…ax+a=0的正根(n=2、3、4、……)的方法都叫开方术，是最为发达的数学分支之一。汉唐千余年间，人们只能开正系数的平方、立方，宋元时代，发展为开任意有理系数的高次方。

第一节 开平方

《周髀》载陈子应用勾股定理测望太阳距离时要开平方，但无开方程序。《九章》少广章提出了世界上最早的开平方的完整抽象程序。刘徽认为，开平方的几何意义是已知一正方形面积求其边长。《九章》按四行布算，最上行准备放议得(即根)，下面一行布置被开方数，称为实，第三行是法，最下一行是借一算，与实的个位相齐，这相当于x=A，如(1)。将借算自右向左隔一位移一步，至不能移为止。根的位数比移的步数多1，实是个位、十位数，借一算根是一位数，实是三位、四位数，借算移一步，根是二位数，依此类推，如(2)。议所得(根的第一位)a，以a乘借算10得10a，为法，应使A÷10a得到a后余数小于10a。刘徽认为这一步是以a乘法10a减A，即A-10a<10a，如(3)。其几何意义是从面积为A的正方形中减去以10a为边长的正方形黄甲，如图27。

再求第二位得数。撤去借算，将法10a加倍，为定法，如(4)。刘徽认为其几何意义是与黄甲相连的两朱幂的长10a，此朱幂的宽是第二位得数。将定法向右退一位，为2·10a，再在下行个位上布置借一算，自右向左隔一位移一步，显然只有n-1步，即10。求根的第二位得数相当于求减根方程10x+2·10ax=A-a的正根，如(5)。议得a，以a乘借算10，加定法，得2·10a+a，使得(A-10a)÷(2·10a+a)的商是a，而其余数小于(2·10a+a)a。刘徽认为这一步相当于求出余实(A-10a)-(2·10a+10a)a，如(6)。其几何意义是从正方形余下部分中减去两朱幂及以10a为边长的小正方形黄乙。若余实仍不为零，则继续开方。显然，这种方法对任何自然数的开方都是适用的。《九章》的例题中被开方数有的高达10位，如。如果被开方数是分数，则通分后，分子、分母分别开方，然后相除，如：

如果分母不可开(无理数)，则以分母乘实，开方之后，除以分母：

《九章》少广章说：“若开之不尽者为不可开，当以面命之。”这里“不可开”大体相当于无理数。《九章》之后，对开方不尽的情形，有人以a+(A-a)/(2a+1)表示√A的近似值，刘徽指出，这个值太小，应有不等式a+(A-a)/(2a+1)<√A

《孙子算经》、《张丘建算经》未提出抽象的开方程序，但从题目的开方细草中可以看出，它们在求得根的一位得数后，不再撤去借算，而是保留借算，改称下法，退二位求减根方程。它们还吸取了刘徽的改进。北宋贾宪提出立成释锁法，继承了以往开方法的长处并加以改进，与现今方法无异。

一次项系数不为零的开方称为带从开方。《九章》勾股章有需开带从平方的例题(见第五节)，而未有开方程序。但是，上述开方程序中从求第二位得数起，便是开带从方。