第七章 高次方程数值解法

第三节 贾宪三角

贾宪把他的开方法叫立成释锁。释锁形象地比喻开方像打开一把锁；而唐宋历算家把载有一些计算常数的算表称为立成；立成释锁法就是借助某种算表进行开方的方法。贾宪把开方法的立成称作开方作法本源，今天称之为贾宪三角。目前中学课本与若干小册子把它称作杨辉三角，是以讹传讹。实际是，它保存在杨辉书中，而杨辉明确指出“贾宪用此术”。

贾宪三角是将整次幂二项式(a+b)(n=0,1,2,3……)的展开式的系数摆成的三角形，如图29。这个图下面有五句话：“左衺乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉。以廉乘商方，命实而除之。”(《永乐大典》所引《详解〈九章〉算法》)前三句说明了贾宪三角的结构：最外左右斜线上的数字，分别是(x+a)(n=0,1,2……)展开式中积a和隅算x的系数，中间的数二，三、三，四、六、四，……分别是各廉。后两句说明了各系数在立成释锁方法中的作用。二，三、三分别在开平方、开立方中的作用，上面已经看到了；四、六、四，五、十、十、五，……分别在开四次、五次……方中的作用与此类似。贾宪三角的提出，表明贾宪实际上已把立成释锁方法推广到高次方，这是一个重大突破。

贾宪三角之后附有造法，即“增乘方求廉法：列所开方数，以隅算一，自下增入前位，至首位而止。复以隅算如前升增，递低一位求之。”(《永乐大典》所引《详解〈九章〉算法》)贾宪还给出了求六次方各廉的细草，如第110页所示。最后得到六、十五、二十、十五、六便是六次方的各廉。显然，用这种方法可以求出任意高次方的各廉。换言之，贾宪已能把贾宪三角写到任意多层。

第一位 | 1 | 1+5=6 |   |   |   |   |

第二位 | 1 | 1+4=5 | 5+10=15 |   |   |   |

第三位 | 1 | 1+3=4 | 4+6=10 | 10+10=20 |   |   |

第四位 | 1 | 1+2=3 | 3+3=6 | 6+4=10 | 10+5=15 |   |

第五位 | 1 | 1+1=2 | 2+1=3 | 3+1=4 | 4+1=5 | 5+1=6 |

后来，朱世杰用两组平行线将贾宪三角的数联结起来，如图30，说明贾宪三角还成为朱世杰解决高阶等差级数求和问题的主要工具。

15世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西用直角三角形表示了同样意义的三角形。16、17世纪欧洲许多数学家都提出过这个三角形，其中以帕斯卡最有名，被称作帕斯卡三角。