第九章 垛积招差

第二节 隙积术

等差级数问题在宋元时代发展为高阶等差级数求和问题。这一课题的开创者是北宋大科学家沈括。沈括研究了《九章算术》的刍童等立体体积公式(见第四节)，认为已相当完备，但是，没有求隙积的方法。隙积就是积之有隙者，如将一颗颗棋子、坛、罐等垒起来，如图34，虽然有刍童的形状，但因有刻缺空隙，若用刍童术求积，数值偏小。沈括便提出了隙积术。设隙积的上底宽a，长b，下底宽a，长b，高n层，且a-a-b-b=n-1，沈括提出的隙积术是：S=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+ab=n〔(2a+a)b+(2a+a)b+(a-a)〕/6

即刍童状隙积中物件的个数比刍童体积多n/6×(a-a)。隙积术实际上是一个二阶等差级数求和问题：

级数 | a1 b1(a1+1)(b1+1) | (a1+2)(b1+2) | (a1+3)(b1+3) | (a1+4)(b1+4)… |

一阶差 | a1+b1+1 | a1+b1+3 | a1+b1+5 | a1+b1+7… |

二阶差 | 2 | 2 | 2 | 2… |

南宋杨辉《详解九章算法》以各种菓子垛比类《九章》的立体。其中刍童形菓子垛与沈括的隙积术相同。四隅垛(比类方锥、阳马)的求积公式为：S=1+2+3+…+n=n(n+1)(n+½)/3

方垛(比类方亭)的求积公式为：S=a+(a+1)+(a+2)+…+(b-1)+b=n〔a+b+ab+½(b-a)〕/3

三角垛(比类鳖臑)的求积公式为：S=1+3+6+10+…+½n(n+1)=n(n+1)(n+2)/6

不难看出，这都是二阶等差级数求和问题。同时，可以看出，在沈括的隙积术中令a=b=1，a=b=n，便是杨辉的四隅垛公式；令a=b，a=b，便是杨辉的方垛公式；令a=1，b=2，a=n，b=n+1，便成为两个三角垛之和1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。

两端除以2，便得到杨辉的三角垛公式。