阿基米德的报复 精彩片段：
第十二章 数学中的民主
对策论是对冲突进行数学分析，它存在于政治、商业、军事或各项事务之中。对策论诞生于1927年，由数学全能行家约翰·冯纽尔曼创立。冯纽尔曼认识到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价。所以从分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策上。在1944年冯纽尔曼与普林斯顿大学经济学家奥斯卡·摩尔根斯特朗合著的当代经典著作《对策论与经济行为》出版之前，对策论，也叫冲突的科学，是鲜为人知的。
对策论的部分智力感染力在于它的许多成果，如量子力学或相对论，似乎是直觉的，甚至是颠倒性的。典型的一个问题是1948年《美国数学月刊》提出的，它还不时地在文献中出现。有3位名叫阿尔、本和查理的男子，参加一个新式的以气球为目标的掷镖游戏。参加游戏者每位各持一气球，只要气球不破，就可以继续参赛，优胜者属于惟一保持气球完好的参赛者。投掷的每一轮参赛者都以抽签决定游戏的掷镖顺序，然后依次投掷一支习镖，他们对各自的投掷技巧全部心中有数：阿尔可以在5次中4次击破气球（命中率80％）；而本则在5次中可3次击破气球（60％命中率）；查理却是每5次只有2次可以击破气球（40％命中率）。那么每位参赛者究竟采用什么策略呢？
答案很明显。每位掷镖者都得把目标对准较强对手的气球，因为如果把它击中，他所要面对的只是较弱的掷镖手。不过，如果所有3位参赛者全都采用这种切合实际的试探策略，那么他们会得到与掷镖技巧相反的结果！概率计算显示，查理这个最差的掷镖手，取胜的机会最大（37％）。而阿尔这个最好的掷镖手，获胜的机会最低，为30％。本的获胜机会也只有33％。
问题出在哪里？问题就在于阿尔和本自己互相拼斗时，查理几乎不受任何威胁。由于阿尔和本彼此都坚持他们开始的策略，而使查理增强了他的幸存能力。
对于阿尔和本两者来说，最佳的策略莫过于在把查理除掉之前彼此之间不进行争斗；而查理的最佳对抗策略仍然是把镖掷向较硬的对手阿尔。在这种形势下，阿尔和本获胜之机会分别增加到44％和46.5％，而查理获胜的机会则会戏剧性地下降到9.1％。然而这种局面可能是不稳定的。因为它需要阿尔和本进行合作。虽然阿尔是最佳的掷镖手，但他还是没有取胜的最佳机会，他可能想欺骗本。但是如果他不能用欺骗的飞镖把本击败，则本可能回击，而且计算出来的获胜机会将会再次发生变化。
如果阿尔不与本合作，不论他是否可以欺骗本，他可能试用另一种策略，这个策略曾在耶鲁大学数学研究所经济学教授马丁·苏比克所著的《社会科学中的对策论：概念与解法》一书中讨论过。
主要观点是阿尔通过口头威胁，试图形成一种局面，使阿尔与本处于一种拼斗状态，但使查理不向他掷镖，如同第一种情况那样，而是把镖掷向本。阿尔声称，只要查理不向他掷镖，他也决不向查理的气球掷镖（而且总是把镖掷向本）。阿尔要让查理明白，如果查理向他掷镖，他会还击的。假如有报复的威胁，则概率计算就会证明，查理最佳做法仅是向本的气球掷镖。如果本也攻击阿尔，则阿尔的总获胜机会仍为44.4％，本则为20％，查理却是35.6％，阿尔虽然未能增加其获胜机会——百分率没有变化——但现在他是竞争中的领先者。
当然，本也不善罢甘休。因此他也会像阿尔那样，对查理发出警告：“只要你不向我掷镖，我也不向你掷镖。要是你向我攻击，我也以牙还牙。”面对来自两个对手的威胁，查理的最佳策略是不对两者中任何一位攻击，而是掷向空中，假定规则允许持这种消极态度的话！苏比克解释说，这种奇特的策略对查理来说是最好的，因为只要没有人攻击他，那么他在游戏第一阶段中的惟一目标就是在第二阶段中增加他与本的一对一的对抗，而不是与阿尔对抗。查理聪明的手腕已使他获胜的机会增加了0.6％，因而对阿尔来说获胜的机会现在是38.1％，对本来说则为25.7％，对查埋来说则是36.2％。不过这还不是最后的定论。如果阿尔扩大了他的威胁面，从而使查理不再向空中掷镖，那么局面就会变得愈加奇妙。
这个问题是对策论中诸多问题中典型的一个。其基本前提是每位参赛者都是有理性的，而且都是力图为自身利益考虑。这个问题的一项教益在于，显而易见的策略——每位参赛者都试图除掉较强的对手——并不一定是好策略。这就是我认为解法是反直觉的解释。当然，由于你更进一步地投身于对策论，那么你的直觉就会改变，而且如果它是完全意想不到的话，则意想不到的局面就会更加意想不到。气球战的另一项教益是，在缺乏有关参赛者能否联络、共谋、进行威胁或达成有约束力并可以实施的协议等信息的情况下，对可能的解法是不能进行正确评估的。在对策论中，往往需要了解这样的社会学因素。
无须试图进行严格的论证，我们就能很容易地理解，气球战可能类似于政治或经济的竞争。按照纽约大学政治学教授斯蒂温·布拉姆斯的看法：气球战的知识可以扩展到多位候选人的政治竞选上，诸如1984年新罕布什尔州的民主党总统预选，当时有8个候选人竞选。布拉姆斯说道：“看来这些候选人的最佳战略，莫过于在他的部分政治势力范围内追随最强的对手。如果你是一个自由主义者，而且另外还有两位自由主义者，那么你就要追随最强的一位。于是所发生的情况将是两位最强的对手就会彼此攻击，而且最弱者就会存留下来了。”这时，如果所发生的情况全面出现，那么最弱的候选人就会在其政治势力范围内幸存下来。布拉姆斯说：“这是没有办法的，强有力的候选人会在这类竞选场合中崭露头角。”
1951年，美国经济学家肯尼思·阿罗令人信服地论证：任何可以想得出的民主选举制度可能产生出不民主结果，这一论证使数学家和经济学家感到震惊。阿罗这种令人不安的对策论论证立即在全世界学术界中引起了评论。
1952年，后来在经济科学方面获诺贝尔奖的保罗·赛缪尔森这样写道：“它证明了探索完全民主的历史记录下的伟大思想也是探索一种妄想、一种逻辑上的自相矛盾。现在全世界的学者们——数学的、政治的、哲学的和经济学的——都在试图进行挽救，都试图挽救阿罗的毁灭性发现中能够挽救出的东西，对数学政治来说，这一发现就是1931年库尔特·哥德尔的数学逻辑的不可能证明一致性定理。”
阿罗的论证，称之为不可能性定理（因为它证明了完全民主在事实上是不可能的），该论证已帮助他于1972年获得了诺贝尔经济科学奖。对策论中最早的和最惊人的成果之一，也就是阿罗的“毁灭性发现”所产生的影响使人们至今还能感觉到。
在民主投票中所固有的不民主悖论可以用一实例进行很好的解释。现有3位朋友，罗纳德、克拉拉和赫布，他们在辛苦工作一天之后，渴望吃一顿快餐。他们决定一起到3家餐馆（麦克唐纳、伯格王或温迪）中的一家去就餐。但3人不能取得一致意见。罗纳德渴望在麦克唐纳餐馆吃饭，那里有漂亮的分餐盘，里面装着油腻的汉堡包和大量新鲜的炸土豆条，至于其他两家餐馆，他喜欢伯格王，然后才是温迪。克拉拉想去吃牛排，因而他喜爱温迪胜过麦克唐纳，最后才是伯格王；赫布想吃大奶酪饼，因而最喜欢伯格王，最不喜欢麦克唐纳。